rekurencyjne zależności między zmiennymi endogenicznymi mają charakter sprzężeń jedno-kierunkowych...

Równania można tak uporządkować, że macierz A będzie trójkątna; współzależne zależności między zmiennymi endogenicznymi mają charakter sprzężeń zwrot-nych. Macierzy współczynników nie da się uporządkować w żaden szczególny sposób.
Duże modele mogą mieć charakter modeli blokowo-rekurencyjnych. Zawierają one fragmenty rekurencyjne i współzależne.
7.2
Identyfikacja
W ekonometrii zidentyfikować równa się stwierdzić, że parametr modelu jest tożsamy z parametrem teorii opisującej działanie systemu. Badanie identyfikacji powinno poprzedzać estymację z uwagi na warunek zgodności estymatorów.
Rozważmy następujący model:
y1t = a11y2t + b12x1t + ε1t
(29)
y1t = a21y2t + ε2t
(30)
21 z 26
Wykłady z Ekonometrii
Opracował: dr Adam Kucharski
Po dodaniu stronami i podzieleniu przez 2 otrzymamy:
1
1
1
y1t =
(a11 + a21)y2t + b12x1t + (ε1t + ε2t)
(31)
2
2
2
Otrzymane równanie jest stochastycznie nie do odróżnienia od równania (29). Po oszacowaniu nie da się powiedzieć czy otrzymano ocenę a11 czy 1/2(a11 + a21). Szacujemy bowiem postać: y1t = β1y2t + β2x1t + νt
(32)
y1t = γ1y2t + ξt
(33)
Równanie (30) różni się od (31) więc wiadomo, że γ1 to a21. Dlatego możemy powiedzieć, że zidentyfikowaliśmy parametr a21. Równanie (29) jest nieidentyfikowalne a (30) identyfikowalne.
Model uznajemy za identyfikowalny kiedy wszystkie jego równania są identyfikowalne, a pojedyncze równanie jest identyfikowalne gdy jego parametry są identyfikowalne. Oznaczmy przez M+ liczbę zmiennych endogenicznych występujących w równaniu z parametrem różnym od zera, zaś przez K− liczbę zmiennych z góry ustalonych w równaniu z parametrem równym zero. Na tej podstawie określimy kryterium identyfikowalności:
• równanie jest jednoznacznie identyfikowalne gdy wykluczono z niego tyle zmiennych z góry ustalonych ile pozostawiono w nim objaśniających zmiennych endogenicznych (nie licząc zmiennej objaśnianej). Zachodzi wtedy: M+ − 1 = K−;
• równanie jest niejednoznacznie (nadmiernie) identyfikowalne gdy wykluczono z niego więcej zmiennych z góry ustalonych niż pozostawiono endogenicznych zmiennych objaśniających.
Zachodzi wtedy: M+ − 1 < K−;
• równanie jest nieidentyfikowalne gdy wykluczono z niego mniej zmiennych z góry ustalonych niż pozostawiono endogenicznych zmiennych objaśniających. (M+ − 1 > K−); 7.3
Estymacja parametrów modeli wielorównaniowych
Model przedstawiony w taki sposób, aby dokładnie odzwierciedlać stosowny fragment teorii zapisywany jest w postaci strukturalnej, czyli:
AY + A1Y1 + BX = E
Jeżeli jednak dokonamy następujących przekształceń:
AY = −A1Y1 + −BX + E
Y = −A−1A1Y1 + −A−1BX + A−1E
Otrzymamy postać zredukowaną. Po stronie zmiennych objaśniających występują w niej tylko zmienne z góry ustalone. Przyjmijmy oznaczenia:
D0 = −A−1B
D1 = −A−1A1
V = A−1E
Po podstawieniu otrzymamy:
Y = D1Y1 + D0X + V
Modele wielorównaniowe, ze względu na swoją specyfikę wymagają przeważnie szczególnych metod estymacji. Podstawowym kryterium jest tutaj klasa modelu. Jeżeli w modelu prostym 22 z 26
Wykłady z Ekonometrii
Opracował: dr Adam Kucharski
MNK-estymator jest zgodny wtedy można szacować parametry każdego równania oddzielnie, w dowolnej kolejności. W modelu prostym każde równanie może być traktowane oddzielnie ponieważ między zmiennymi endogenicznymi nie występują żadne związki. Należy pamiętać, że zmienne egzogeniczne nie są związane z żadnym konkretnym równaniem i mogą występować jednocześnie w kilku spośród równań tworzących model. Zresztą ta zasada dotyczy wszystkich wersji modeli wielorównaniowych.
W przypadku modelu rekurencyjnego również da się szacować równanie po równaniu tyle, że kolejność estymacji narzucają nam związki między zmiennymi endogenicznymi. W pewnych szczególnych przypadkach trzeba użyć jednak 2MNK.
W przypadku modeli współzależnych problem stanowią jednoczesne sprzężenia między zmiennymi endogenicznymi z poszczególnych równań. Ogólnie spotykane tutaj estymatory dadzą się podzielić na:
równaniowe szacuje się w nich parametry kolejnych równań bez wykorzystywania informacji o tym jak wyglądają pozostałe równania, w szczególności tożsamości (do tej kategorii zaliczyć można m.in. PMNK i 2MNK);
systemowe szacują model jako całość, uwzględniając postać równań oraz ograniczenia narzu-cone na parametry (zaliczymy tu 3MNK);
Estymatory systemowe mają sporo zalet, ale mają też wady:
1. ewentualne błędy w pojedynczym równaniu przerzucają się na pozostałe równania; 2. liczba obserwacji nie może być mniejsza od liczby parametrów całego modelu co wyklucza te metody z zastosowania do modeli o dużych rozmiarach;
Ze względu na powyższe najczęściej używa się 2MNK i KMNK ponieważ nie udało się udo-wodnić, że dają one prognozy gorszej jakości od metod bardziej wyrafinowanych. Poniżej omó-