Modele równań i metody ich rozwiązywania x = − 5 x + 2 π k lub 2) x = π + 5 x + 2 π k z których znajdujemy rozwiązania równania...

π
π
Przykład 1b. Rozwiązać równanie: sin( x +
) = cos(2 x −
)
3
6
Rozwiązanie: korzystając ze wzorów redukcyjnych zamieniamy np.
π
π
π
π
sin( x +
) na cos( − x) i otrzymujemy równanie: cos( − x) = cos(2 x −
)
3
6
6
6
Stosując wzory 2.1*) i 2.2*) otrzymujemy równania algebraiczne:
π
π
π
π
1)
− x = 2 x −
+ 2 π
k
lub
2)
− x = − 2 x +
+ 2 π
k
6
6
6
6
z których znajdujemy rozwiązania zadania.

Uwaga: Jeżeli równanie ma postać: f (W) = liczba to zamieniając liczbę na funkcję odpowiedniego argumentu otrzymujemy zadanie wg modelu 1T. Oczywiście może-my w tym przypadku skorzystać wprost ze znajomości własności danej funkcji.


9
1.2. MODEL 2T
a sin W + b cos W = 0
gdzie a i b są różne od zera
Postacią tego modelu jest kombinacja liniowa funkcji sinus i cosinus tego samego argumentu przyrównana do zera.
Najprostszą (lecz nie jedyną) metodą rozwiązania tego typu równania jest po-dzielenie obu stron równania przez jedną z funkcji np. przez cos W , otrzymując w ten sposób równanie z Modelu 1T typ 3 (lub 4). Należy z naciskiem podkreślić, że dzielenie to jest w tym modelu dopuszczalne, ponieważ żadna z funkcji nie może tu przyjmować wartości zerowej! Łatwo to uzasadnić, sprowadzając do sprzeczności.

Przykład 2. Rozwiązać równanie: 3sin 6 x − 3 cos 6 x = 0
Rozwiązanie: dzieląc np. przez cos 6 x otrzymujemy równanie wzorcowe z modelu 1T
3
tg 6 x =
i ze wzoru 1.1.3 otrzymujemy równanie algebraiczne
3
π
π
π
6 x =
+ π
k stąd x =
+ k
6
36
6
Uwaga: W przypadku, gdy a = b = 1 , można do równania wzorcowego przejść, też stosując wzory redukcyjne.
1.3. MODEL 3T
a sin W + b cos W = c
gdzie a, b, c są różne od zera Najprostszym sposobem przejścia od Modelu 3T do modelu wzorcowego jest zastoso-b
wanie metody kąta pomocniczego. Polega ona na przyjęciu np. za
= t ϕ
g przy czym
a
kąt ϕ może być w prostych przypadkach podany z pamięci, w innych przypadkach z tablic lub kalkulatora albo wyrażony przez funkcje odwrotne.
Zastosowanie tej metody sprowadza lewą stronę równania po łatwych przekształ-
ceniach do postaci:
a sin W + b cos
2
2
W = a + b sin( W + ϕ )
a stąd otrzymujemy równanie wzorcowe:
c
sin( W + ϕ ) =
2
2
a + b

Uwagi:
1) Jeżeli c = 0 równanie należy do Modelu 2T.
2) Zarówno w Modelu 2T jak i w Modelu 3T lewa strona równania jest wielomia-nem jednorodnym, w którym sin W i cos W występują w pierwszych potęgach.
10
3) Jeżeli a = b = c = 1 równanie można też łatwo rozwiązać stosując odpowiednie wzory (patrz: Model 5T).
a
b
4) W modelu tym można za lub przyjąć zarówno t ϕ
g jak i ct ϕ
g .
b
a
5) W każdym z tych przypadków sprowadzamy tego typu równanie do postaci po-
danej w modelu wzorcowym.
6) Do równania z tego modelu można też zastosować metodę podaną w Modelu 6T, ale trzeba się liczyć z wystąpieniem czasem bardzo uciążliwych rachunków (patrz uwagi do Modelu 6T).

Przykład 3. Rozwiązać równanie: 3sin 2 x + 3 cos 2 x = 6

Jest to równanie typu z Modelu 3T. Najłatwiej można go rozwiązać stosując wzór na przejście z Modelu 3T do równania wzorcowego.
3
π
Podstawiamy np. za
= t ϕ
g , stąd otrzymujemy ϕ =
, stosując podany w modelu
3
6
wzór (lub wykonując samodzielnie przekształcenia) otrzymujemy:
2
π
π
sin(2 + π
x
) =
, stąd sin(2 x +
) = sin
6
2
6
4
a po zastosowaniu wzorów z Modelu 1T i rozwiązaniu równań algebraicznych otrzymujemy odpowiedź:
π
7
1) x =
+ π
k 2) x =
π + π
k
24
24
Oczywiście można też, zamiast korzystać z gotowego wzoru przejścia do równania wzorcowego, zastosować przeliczenia, które umożliwiły otrzymanie tego wzoru.

Sposób ten jest zilustrowany na tym samym przykładzie poniżej.

3sin 2 x + 3 cos 2 x = 6 podstawiamy 3 = t
3 gϕ
otrzymujemy:
π
3sin 2 x + 3 tgϕ cos 2 x = 6 gdzie ϕ = 6
po prostych przekształceniach otrzymujemy jak poprzednio równanie wzorcowe: 2
sin(2 x + ϕ ) = 2
11
Pełna wersja:
http://www.escapemagazine.pl/369674-modele-rownan-i-metody-ich-rozwiazywania

Document Outline Wstęp 1. Modele równań trygonometrycznych (MODELE T) gdzie a i b są różne od zera