2 0 Z 1 t 0 b a A = (b a) dt = (17) 1 1 0 2 0 Kw adratura...

3.2
n=2
a+b
Dla
n
=
2
w
ezlami kw
adratury sa
x
=
a,
x
=
,
x
=
b.
Obliczam y
wsp
olczynniki 0
1
2
2
Z
2
b
a
(t
1)(t
2)
b
a
A
=
dt
=
0
2
(0
1)(0
2)
6
0
Z
2
b
a
(t
0)(t
2)
4(b
a)
A
=
dt
=
(19)
1
2
(1
0)(1
2)
6
0
A
=
A
2
0
Otrzymana kw
adratura


b
a
a
+
b
Q(f
)
=
I
(L
)
=
f
(a)
+
4f
(
)
+
f
(b)
(20)
2
6
2
jest
nazyw
ana
wzorem parab
ol
lub
wzor
em
Simpsona.
3
Twierdzenie Kw
adratury Newtona-Cotesa oparte na
n
+
1
w
ezlac
h
sa
rzedu
n
+
2
dla
n
parzyst yc
h
n
+
1
dla
n
nieparzyst yc
h
1.3.3
Zlozone kw
adratury Newtona-Cotesa Ok
azuje
sie,
ze
kw
adratury Newtona-Cotesa wyzszyc h
rzedo
w
sa
malo
przydatne w
prakt
yczn
yc
h
obliczeni-ac
h.
Na
ogol
bardziej celo
wym
jest
p
o
dzielenie przedzialu calk
o
w
ania
[a;
b]
na
N
ro
wn
yc
h
p
o
dprzedzialo w
b
a
[x
;
x
]
dlugosci h
=
punktami x
=
a
+
ih
dla
i
=
0;
1;
:
:
:
;
N
i
stoso
w
anie
na
k
azdym
z
nic
h
i
i+1
i
N
kw
adratury Newtona-Cotesa niskiego rzedu.
Konstruo w
ane
w
ten
sp
osob
kw
adratury
,
okreslone na
ca-
lym
przedziale
[a;
b],
sa
nazyw
ane
zlozonymi kwadr
atur
ami
Newtona-Cotesa.
Jak
o
pierwszy przyklad w
k
azdym
z
przedzialo w
[x
;
x
]
zastosujm y
kw
adrature Newtona-Cotesa i
i+1
rzedu
dw
a,
tzn.
wzor
trap
ezo
w.
Otrzym ujem
y:
N
1
X
h
T
(f
)
=
(f
(a)
+
2
f
(a
+
ih)
+
f
(b))
(21)
N
2
i=1
Jak
o
drugi
przyklad wypro
w
adzm
y
wzor
na
zlozona kw
adrature Simpsona Z
x
i+1
h
x
+
x
i
i+1
f
(x)dx
=
(f
(x
)
+
4f
(
)
+
f
(x
))
(22)
i
i+1
6
2
x
i
Stad
Z
N
1
N
1
b
X
X
h
h
f
(x)dx
=
(f
(a)
+
2
f
(a
+
ih)
+
4
f
(a
+
(2i
1)
)
+
f
(b))
(23)
6
2
a
i=1
i=1
2
Problem zbieznosci ciagu
kw
adratur Rozpatrzm y
ciag
kw
adratur Q
(n
=
0;
1;
:
:
:
)
n
n
X
(n)
(n)
Q
(f
)
=
A
f
(x
)
(24)
n
i
i
i=0
R
b
przybliza jacyc
h
calk
e
I
(f
)
=
p(x)f
(x)dx.
In
tereso w
ac
nas
b
edzie
w
arunki zbieznosci ustalonego ciagu
p
a
kw
adratur do
calek
funk
cji
ciaglyc h
na
[a;
b].
(j
)
(j
)
Zakladam y
zatem, ze
dane
sa
niesk
onczene macierze tro
jk
atne
w
ezlo
w
x
i
wsp
olczynnik o
w
A
i
i
(0)
(0)
x
A
0
0
(1)
(1)
(1)
(1)
x
;
x
A
;
A
0
1
0
1
(2)
(2)
(2)
(2)
(2)
(2)
x
;
x
;
x
A
;
A
;
A
0
1
2
0
1
2
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
deniujace ciag
(24).
P
o
dsta
w
o
wym
t
wierdzeniem da
jacym
o
dp
o
wiedz
na
p
osta
wione
p
o
wyzej
p
ytanie jest
Twierdzenie Ciag
kw
adratur (24)
jest
zbiezn y
dla
do
w
oln
yc
h
funk
cji
f
ciaglyc h
na
o
dcinku
[a;
b]
Z
n
b
X
(n)
(n)
lim
A
f
(x
)
=
p(x)f
(x)dx
(25)
i
i
n!1
a
i=0
wtedy
i
t
yk
o
wtedy
,
gdy
4

ciag
(24)
jest
zbiezn y
dla
do
w
olnego wielomian u
oraz

istnieje tak
a
stala
K
,
ze
dla
n
=
0;
1;
:
:
:
zac
ho
dzi
niero
wnosc
n
X
(n)
jA
j

K
(26)
i
i=0
W
arunki t
wierdzenia sa
sp
elnione przez
zlozone kw
adratury Newtona-Cotesa oraz
kw
adratury Gaussa.
3
Przyspieszanie szybk
osci
zbieznosci ciagu
kw
adratur Zalozm y
,
ze
dla
do
w
olnego n
kw
adratury Q
sp
elnia
ja
ro
wnanie n
c
c
1
1
m
I
(f
)
=
Q
(f
)
+
+
:
:
:
+
+
O
(
);
(27)
p
n



m+1
1
m
n
n
n
gdzie
wykladniki t
w
orza
ciag
rosnacy i
0
<

<

<

<
:
:
:
(28)
1
2
3
i
sa
znane, natomiast stale
c
zalezne o
d
funk
cji
f
,
ale
niezalezne o
d
n
,
sa
niewiadome.
Idea
ekstr
ap
olacji i
R
ichar
dsona
p
olega
na
wyznaczeniu takiej k
om
binacji linio
w
ej
kw
adratur Q
i
Q
,
ktorej reszta nie
n
s
c
1
za
wiera
skladnik a
.
P
o
dsta
wia
jac
w
e
wzorze (27)
n
=
ns,
przy
ustalon ym
s
>
1,
dosta
jem
y
zaleznosc 1
n
c
c
1
1
m
I
(f
)
=
Q
(f
)
+
+
:
:
:
+
+
O
(
)
(29)
p
sn





m+1
1
1
m
m
s
n
s
n
n

1
Nastepnie mnozac ja
stronami przez
s
,
o
dejm
ujac
ro
wnosc
(27)
i
przeksztalca jac
otrzym ujem
y

0
0
0
1
s
Q
(f
)
Q
(f
)
c
c
c
1
sn
n
2
3
m
I
(f
)
=
+
+
+
:
:
:
+
+
O
(
)
(30)
p





1
2
3
m
m+1
s
1
n
n
n
n
gdzie


1
i
s
1
0
c
=
c
(31)
i
i

1
s
1
Deniujac 1
s
Q
(f
)
Q
(f
)
sn
n
1
Q
(f
)
=
(32)
n

1
s
1
1
1
okreslam y
no
wy
ciag
kw
adratur, ktorego reszt
y
sa
rzedu
,
a
nie
jak
w
przypadku p
o
czatk
o
w
ego


2
1
n
n
2
ciagu
fQ
g.
P
ostep
o
w
anie
to
mazna
k
on
t
yn
uo
w
ac
biorac jak
o
Q
(f
)
o
dp
o
wiednia k
om
binacje linio
w
a
n
n
0
c
1
2
m
2
Q
(f
)
i
Q
(f
),
ktorej reszta nie
za
wiera
skladnik a
,
itd.
az
do
Q
(f
).

n
sn
n
2
n
W
przypadku kw
adratury trap
ezo
w
wzor
(27)
przyjm uje
p
ostac
Z
b
c
c
1
1
m
f
(x)dx
=
T
(f
)
+
+
:
:
:
+
+
O
(
)
(33)
n
2
2m
2m+2
n
n
n
a
Stosujac do
ciagu
T
(f
)
ekstrap olacje Ric
hardsona z
s
=
2
otrzym ujem
y
ciag
kw
adratur n
4T
(f
)
T
(f
)
2n
n
1
T
(f
)
=
(34)
n
4
1
Ekstrap olujac k
krotnie dosta
jem
y
k
1
k
k
1
4
T
T
n
k
2n
0
T
=
;
T
=
T
(35)
n
n
n
k
4
1
5
0
T
1
0
1
T
T
2
1
0
1
2
T
T
T
4
2
1
(36)
0
1
2
3
T
T
T
T
8
4
2
1
0
1
2
3
4
T
T
T
T
T
16
8
4
2
1
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
k
Kw
adratury T
nazyw
ane
sa
kwadr
atur
ami
R
omb
er
ga
a
przedsta wion
y
tu
szczegoln y
przypadek ek-n
strap
olacji Ric
hardsona
-
meto
da
R
omb
er
ga.
1
Lat
w
o
spra
wdzic, ze
kw
adratury T
t
w
orzace druga
k
olumne macierzy (36)
sa
zlozon ymi