a) ∫∫∫(2x + 3y − 4z)dxdydz , V: z=0, z=2, x=0, y=0, x+y=1; V b) ∫∫∫xyzdxdydz, V: x≥0, y≥0, z≥0, x+y+z≤1,...

V
4. Wprowadzając współrzędne walcowe, obliczyć wskazane całki po obszarach
ograniczonych danymi powierzchniami:
a)
∫∫∫
2
x dxdydz,
V :
x + 2
y ≤ 1,
0 ≤ z ≤ 3 ,
V
b)
∫∫∫( 2
x + 2
y )
2
dxdydz,
V :
x + 2
y = 2z,
z = 2 ,
V
c)
∫∫∫
2
dxdydz,
V :
x + 2
y + 2
z =
2
,
1
x + 2
y + x = 0 ,
V
d)
∫∫∫
2
dxdydz,
V :
x − 2
y =
2
z,
x + 2
y = ,
4
z = 0 ,
V
e)
∫∫∫
2
z x + 2
2
y dxdydz, V : x + 2
y = 2 ,
x
y ≤ 0, z = 0, z = 3 .
V

5. Wprowadzając współrzędne sferyczne, obliczyć podane całki:
a)
∫∫∫ 2
x + 2
y + 2
2
z dxdydz, V :
x + 2
y + 2
z ≤ ,
1
x ≥ 0,
y ≥ 0,
z ≥ 0 ,
V
b)
∫∫∫( 2
x + 2
y )
2
dxdydz,
V : x + 2
y + 2
z ≤ ,
1
x ≥ 0,
y ≥ 0,
z ≥ 0 ,
V
c)
∫∫∫ 1+ 2
(x + 2
y + 2 3/ 2
2
z )
dxdydz,
V :
x + 2
y + 2
z ≤ 4 ,
V
d)
∫∫∫( 2
x + 2
y )
2
dxdydz,
V :
x + 2
y + 2
z ≤ 2 z ,
V
Strona 66
6
CAŁKA POTRÓJNA
e)
∫∫∫( 2
x + 2
y )
2
dv,
V :
x + 2
y = 2
2
z ,
x + 2
y + 2y = 0,
z = 0 ,
V
f)
∫∫∫
2
dv,
V :
x + 2
y + 2
z =
2
,
4
x + 2
y ≤ 2
z .
V

6. Obliczyć całki:
a)
x 2
∫
+ y2 dl, L : x 2 + y2 = ax, a > 0 ,
L
b)
2
∫ x dl, L : x2 + y2 = 4, y ≥ 0 ,
L
2
2
3ϕ
c)
x
∫
+ y dl, L : r = 2e , ϕ ∈[ ,
0 π ],
3
L
d)
∫ x2 + y2
2
+ z dl, L : x = et cos t, y = et sin t, z = et , t ∈[ ]
1
,
0
,
L
e)
∫ ( y − x)dl, L: łuk krzywej
3
y = x łączący punkty A(1,1) i B(2,8),
L
x
f)
∫ dl, L : y2 = 2x, x∈ ,1
[ 2] .
y
L
7. Obliczyć pole powierzchni części walca S za pomocą całki krzywoliniowej
nieskierowanej:
a)
S :
x 2 + y 2 = 1 zawarte między płaszczyznami z = −x, z=5+y,
2
2
2
b)
S :
x + y = a zawarte między płaszczyzną z=0 i powierzchnią
x 2
z = a +
,
a > 0 .
a
























Strona 67
6
ROZDZIAŁ VI












Strona 68
6




VII Całka powierzchniowa
niezorientowana









ROZDZIAŁ VII
Niech g: S→ℜ będzie funkcją określoną na płacie regularnym S będącym wykresem funkcji f
dla (x,y)∈D.
Dzielimy obszar D na n podobszarów regularnych Di i oznaczamy przez Si
odpowiadające tym podobszarom części płata S, a przez ∆Si pola tych płatów częściowych.

Wybierając z płata częściowego Si dowolny punkt Pi(xi,yi,zi) tworzymy sumę całkową:
n
s =
f ( P ) S
n
∑
∆
i
i
i=1
JeŜeli dla kaŜdego normalnego ciągu podziałów obszaru D ciąg (sn) ma granicę niezaleŜną od
wyboru punktów Pi , to granicę tę nazywamy całką powierzchniową niezorientowaną z funkcji
g po płacie S i oznaczamy:
∫∫ g( x, y, z d
) S
lub
∫∫ gdS, lub ∫∫ gdS
S
S
S
(w przypadku, gdy powierzchnia S jest zamknięta).

JeŜeli g=1, to S = ∫∫ dS – pole płata S.
S
Twierdzenie 1 (o zamianie całki powierzchniowej niezorientowanej na całkę
podwójną).

JeŜeli funkcja g jest ciągła na płacie gładkim S={(x,y,z): z=f(x,y), (x,y) ∈D},
gdzie D⊂ℜ2 jest obszarem regularnym, to
2
2
∫∫ g(x,y,z)dS = ∫∫g(x,y,f(x,y)) 1 + [f ' +
x ]
[f'y] dxdy
S
D

Uwaga 1. JeŜeli płat powierzchniowy S jest obrazem zbioru D leŜącego w innej
płaszczyźnie niŜ płaszczyzna XOY, to teza twierdzenia będzie analogiczna, np. jeŜeli D leŜy
w płaszczyźnie XOZ, to:

∫∫
2
2
g( x, y, z d
) S = ∫∫ g( x, f ( x, z), z)
+ [ f '
1
+
'
x ]
[ fz ] dxdz
S
D

Przykład 1.
∫∫ ( 2
2
2
x + y + z )
Obliczyć całkę
dS, gdzie S jest powierzchnią stoŜka o równaniu:
S
z2 = x2 + y2 odciętą dwiema płaszczyznami: z=1 i z=2.


Strona 70
7
CAŁKA POWIERZCHNIOWA NIEZORIENTOWANA




















Przykład 2.
Obliczyć całkę: ∫∫ xyz dS , gdzie S jest powierzchnią walca o równaniu: y2=x odciętą
S
płaszczyznami: z=0, z=4, y=1, y=2.


























Strona 71
7
ROZDZIAŁ VII
Zastosowania całek w mechanice

Masa obiektu materialnego

JeŜeli ρ jest gęstością rozkładu masy, to:
∫ ρ( x, y, z d
) l = M – masa łuku materialnego L;
L
∫∫ ρ( x, y, z d
) S = M – masa płata materialnego S;
S
∫∫ ρ( x, y d
) xdy = M – masa płaskiego obszaru materialnego D;
D
∫∫∫ ρ( x, y, z) dxdydz = M – masa bryły materialnej V.
V
JeŜeli ρ=const., to obiekt materialny nazywamy jednorodnym.

Momenty statyczne
Z mechaniki wiadomo, Ŝe moment statyczny układu n punktów materialnych P1, P2, ... ,Pn
o masach m1, m2,...,mn względem płaszczyzny Π określony jest wzorem:
n
*
M
=
Π
∑ d ( P , Π)⋅ m ,
i
i
i 1
=
gdzie d*(Pi,Π) oznacza tzw. względną (opatrzoną znakiem) odległość punktu Pi od
płaszczyzny Π.
Biorąc pod uwagę definicję odpowiedniej całki Riemanna, moŜemy określić moment
statyczny bryły materialnej V o gęstości rozkładu masy ρ następująco:
M
=
*
Π
ρ
Π
∫∫∫ d ( P( x, y, z), Π) ( x, y, z) dxdydz.
V
JeŜeli w powyŜszym wzorze całkę potrójną zastąpimy całką powierzchniową niezorientowaną
lub krzywoliniową nieskierowaną, to otrzymamy odpowiednie momenty względem
płaszczyzny, np..:

M
=
*
Π
ρ
Π
∫ d ( P( x, y, z), Π) ( x, y, z d
) l,
L
gdzie L jest łukiem materialnym o gęstości masy ρ.

JeŜeli w powyŜszych wzorach odległość zastąpimy kwadratem odległości, to otrzymamy
wzór na moment bezwładności, np. wzór
B
=
2
Π
ρ
Π
∫∫ [ d( P( x, y, z), Π)] ( x, y, z d
) S
S
określa moment bezwładności płata materialnego S o gęstości rozkładu masy ρ.

JeŜeli zamiast płaszczyzny weźmiemy prostą L lub punkt P0, to otrzymamy moment
bezwładności obiektu materialnego względem prostej lub względem punktu.

Strona 72
7
CAŁKA POWIERZCHNIOWA NIEZORIENTOWANA

W praktyce najczęściej wyznaczamy momenty statyczne lub bezwładności względem
płaszczyzn układu, osi układu lub początku układu współrzędnych. PoniŜszy rysunek
przedstawia odległości dowolnego punktu P(x,y,z) od płaszczyzn, prostych i początku układu
współrzędnych.

z


2
2

x
+ y
x



2
2
2
x + y + z
2
2
x
+ z


2
2